【向量积公式是什么】向量积，也称为叉积（Cross Product），是向量运算中的一种重要形式，常用于三维空间中。它主要用于计算两个向量之间的垂直方向和面积等物理量。向量积的结果是一个新的向量，其方向由“右手定则”决定，而大小则与两个原向量的模长及夹角有关。
一、向量积的基本定义
设向量 a = (a₁, a₂, a₃) 和 b = (b₁, b₂, b₃)，它们的向量积记作 a × b，结果为一个新的向量，其计算公式如下：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3 \\
\end{vmatrix}
= (a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}
$$
也可以写成：
$$
\mathbf{a} \times \mathbf{b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
$$
二、向量积的性质
| 属性 | 描述 | ||||
| 结果类型 | 向量 | ||||
| 方向 | 垂直于两个原向量所在的平面，遵循右手定则 | ||||
| 大小 | a | b | sinθ，其中θ为两向量夹角 | ||
| 交换律 | 不满足：a × b = -b × a | ||||
| 分配律 | 满足：a × (b + c) = a × b + a × c | ||||
| 与标量乘法 | 满足：k(a × b) = (ka) × b = a × (kb) |
三、向量积的应用
向量积在物理、工程、计算机图形学等领域有广泛应用，例如：
- 计算力矩（Torque）
- 确定平面法向量
- 计算面积或体积（如平行六面体体积）
- 在计算机图形学中用于法线计算
四、向量积与点积的区别
| 特性 | 向量积（叉积） | 点积（标量积） | ||||||||
| 结果类型 | 向量 | 标量 | ||||||||
| 方向 | 与两个向量垂直 | 无方向 | ||||||||
| 公式 | a × b = | a | b | sinθ n | a · b = | a | b | cosθ | ||
| 应用 | 法向量、力矩等 | 角度、投影等 |
五、总结
向量积是一种重要的向量运算方式，通过特定的公式可以快速计算出两个向量的垂直方向和面积信息。它在多个领域具有广泛的应用价值，理解其定义、性质和应用有助于更好地掌握向量运算的精髓。
| 关键点 | 内容 |
| 定义 | 两个向量的向量积是垂直于这两个向量的新向量 |
| 公式 | a × b = (a₂b₃ - a₃b₂, a₃b₁ - a₁b₃, a₁b₂ - a₂b₁) |
| 性质 | 非交换、满足分配律、与标量乘法结合 |
| 应用 | 力矩、法向量、面积、体积等计算 |
通过以上内容，可以全面了解“向量积公式是什么”这一问题，并掌握其基本应用和意义。
