【等比数列前n项和的通项公式】在数学中，等比数列是一种重要的数列形式，其特点是每一项与前一项的比值为常数。等比数列的前n项和是数列求和中的一个重要概念，掌握其通项公式有助于解决实际问题和数学分析。

一、等比数列的基本概念

等比数列的一般形式为：

$$ a, ar, ar^2, ar^3, \ldots, ar^{n-1} $$

其中，$ a $ 是首项，$ r $ 是公比（$ r \neq 1 $），$ n $ 是项数。

二、等比数列前n项和的通项公式

等比数列前n项和的公式为：

$$ S_n = a \cdot \frac{r^n - 1}{r - 1} \quad (r \neq 1) $$

当 $ r = 1 $ 时，所有项都相等，因此前n项和为：

$$ S_n = a \cdot n $$

三、通项公式总结表

四、应用举例

例如，已知一个等比数列的首项 $ a = 2 $，公比 $ r = 3 $，求前5项的和：

$$

S_5 = 2 \cdot \frac{3^5 - 1}{3 - 1} = 2 \cdot \frac{243 - 1}{2} = 2 \cdot \frac{242}{2} = 2 \cdot 121 = 242

$$

再如，若公比 $ r = 1 $，首项 $ a = 5 $，求前4项的和：

$$

S_4 = 5 \cdot 4 = 20

$$

五、注意事项

1. 在使用公式前，必须确认公比 $ r $ 是否为1。

2. 若 $ r < 0 $ 或 $ r > 1 $，公式依然适用，但需注意结果的正负或大小变化。

3. 该公式适用于有限项的求和，若涉及无限等比数列且 $ r < 1 $，则可使用极限公式计算无穷和。

通过以上内容，我们可以清晰地理解等比数列前n项和的通项公式及其应用场景，为后续的数学学习和实际问题解决提供坚实的基础。