【微积分基本公式有哪些】微积分是数学中的一个重要分支，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。它主要包括微分和积分两部分，而微积分的基本公式则是学习和应用微积分的基础。以下是对微积分基本公式的总结。
一、微分基本公式
微分用于研究函数的变化率，以下是常见的微分公式：
| 函数形式 | 导数公式 |
| $ f(x) = c $（常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = a^x $（a>0, a≠1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
二、积分基本公式
积分用于计算面积、体积等累积量，包括不定积分和定积分。以下是常见的积分公式：
不定积分
| 被积函数 | 不定积分结果 | ||
| $ \int dx $ | $ x + C $ | ||
| $ \int x^n dx $（n ≠ -1） | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $ | ||
| $ \int \sin x dx $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \int \cos x dx $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \int e^x dx $ | $ e^x + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x} dx $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ \int a^x dx $（a > 0, a ≠ 1） | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $ | ||
| $ \int \frac{1}{x^2 + a^2} dx $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ |
定积分
定积分的计算通常需要利用牛顿-莱布尼茨公式：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
其中 $ F(x) $ 是 $ f(x) $ 的一个原函数。
三、微积分基本定理
微积分基本定理是连接微分与积分的核心内容，分为两部分：
1. 第一基本定理：若 $ f $ 在区间 [a, b] 上连续，且 $ F(x) = \int_a^x f(t) dt $，则 $ F(x) $ 在 [a, b] 上可导，且 $ F'(x) = f(x) $。
2. 第二基本定理：若 $ F $ 是 $ f $ 的一个原函数，则：
$$
\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
$$
总结
微积分基本公式是理解和应用微积分的关键工具。无论是微分还是积分，掌握这些公式有助于更深入地分析函数的变化趋势和累积特性。在实际问题中，合理运用这些公式能够有效解决各种数学和现实问题。
