【双曲线函数公式】双曲线函数是数学中一类重要的函数，它们与三角函数类似，但定义在双曲线上。双曲线函数在工程、物理和数学分析中有着广泛的应用，特别是在解决微分方程和描述某些物理现象时。以下是对双曲线函数的基本公式进行总结，并以表格形式展示。
一、双曲线函数的基本定义
双曲线函数主要包括六种基本函数：双曲正弦（sinh）、双曲余弦（cosh）、双曲正切（tanh）、双曲余切（coth）、双曲正割（sech）和双曲余割（csch）。这些函数可以通过指数函数来定义。
| 函数名称 | 公式表达式 |
| 双曲正弦（sinh） | $\sinh x = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$ |
| 双曲余弦（cosh） | $\cosh x = \frac{e^x + e^{-x}}{2}$ |
| 双曲正切（tanh） | $\tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ |
| 双曲余切（coth） | $\coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ |
| 双曲正割（sech） | $\text{sech} x = \frac{1}{\cosh x} = \frac{2}{e^x + e^{-x}}$ |
| 双曲余割（csch） | $\text{csch} x = \frac{1}{\sinh x} = \frac{2}{e^x - e^{-x}}$ |
二、双曲线函数的性质
双曲线函数具有许多与三角函数相似的性质，但也有一些关键区别：
1. 奇偶性
- $\sinh(-x) = -\sinh x$（奇函数）
- $\cosh(-x) = \cosh x$（偶函数）
- $\tanh(-x) = -\tanh x$（奇函数）
- $\coth(-x) = -\coth x$（奇函数）
- $\text{sech}(-x) = \text{sech} x$（偶函数）
- $\text{csch}(-x) = -\text{csch} x$（奇函数）
2. 基本恒等式
- $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$
- $1 - \tanh^2 x = \text{sech}^2 x$
- $\coth^2 x - 1 = \text{csch}^2 x$
3. 导数关系
- $\frac{d}{dx} \sinh x = \cosh x$
- $\frac{d}{dx} \cosh x = \sinh x$
- $\frac{d}{dx} \tanh x = \text{sech}^2 x$
- $\frac{d}{dx} \coth x = -\text{csch}^2 x$
- $\frac{d}{dx} \text{sech} x = -\text{sech} x \tanh x$
- $\frac{d}{dx} \text{csch} x = -\text{csch} x \coth x$
三、双曲线函数与三角函数的关系
虽然双曲线函数与三角函数在形式上相似，但它们之间存在一定的联系：
- $\sinh x = -i \sin(ix)$
- $\cosh x = \cos(ix)$
- $\tanh x = -i \tan(ix)$
其中 $i$ 是虚数单位，$i^2 = -1$。这种关系表明双曲线函数可以看作是三角函数在复数域上的推广。
四、总结
双曲线函数是一类重要的数学函数，广泛应用于物理、工程和数学建模中。它们由指数函数定义，并具有与三角函数类似的恒等式和导数关系。掌握这些函数的定义和性质，有助于更好地理解和应用它们在实际问题中的作用。
| 函数名称 | 定义式 | 奇偶性 | 导数 |
| sinh | $\frac{e^x - e^{-x}}{2}$ | 奇函数 | cosh x |
| cosh | $\frac{e^x + e^{-x}}{2}$ | 偶函数 | sinh x |
| tanh | $\frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ | 奇函数 | sech²x |
| coth | $\frac{e^x + e^{-x}}{e^x - e^{-x}}$ | 奇函数 | -csch²x |
| sech | $\frac{2}{e^x + e^{-x}}$ | 偶函数 | -sech x tanh x |
| csch | $\frac{2}{e^x - e^{-x}}$ | 奇函数 | -csch x coth x |
