【三角函数变换公式有哪些】在数学中，三角函数是研究角度与边长关系的重要工具，广泛应用于几何、物理、工程等领域。为了便于计算和分析，人们总结了许多三角函数的变换公式，这些公式可以帮助我们简化表达式、求解方程或进行数值计算。
以下是一些常见的三角函数变换公式，以文字说明加表格的形式进行总结：
一、基本三角恒等式
1. 平方关系
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
- $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$
2. 倒数关系
- $\sin\theta = \frac{1}{\csc\theta}$
- $\cos\theta = \frac{1}{\sec\theta}$
- $\tan\theta = \frac{1}{\cot\theta}$
3. 商数关系
- $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
二、诱导公式（角度转换）
| 原角 | 转换后角 | 公式 |
| $\theta$ | $-\theta$ | $\sin(-\theta) = -\sin\theta$，$\cos(-\theta) = \cos\theta$，$\tan(-\theta) = -\tan\theta$ |
| $\theta$ | $\pi - \theta$ | $\sin(\pi - \theta) = \sin\theta$，$\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta$，$\tan(\pi - \theta) = -\tan\theta$ |
| $\theta$ | $\pi + \theta$ | $\sin(\pi + \theta) = -\sin\theta$，$\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta$，$\tan(\pi + \theta) = \tan\theta$ |
| $\theta$ | $\frac{\pi}{2} - \theta$ | $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\theta$，$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin\theta$，$\tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta$ |
三、和差角公式
| 公式类型 | 公式 |
| 正弦和差 | $\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$ |
| 余弦和差 | $\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$ |
| 正切和差 | $\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$ |
四、倍角公式
| 函数 | 公式 |
| $\sin 2\theta$ | $2\sin\theta \cos\theta$ |
| $\cos 2\theta$ | $\cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$ |
| $\tan 2\theta$ | $\frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$ |
五、半角公式
| 函数 | 公式 |
| $\sin\frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$ |
| $\cos\frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$ |
| $\tan\frac{\theta}{2}$ | $\pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$ |
六、积化和差公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\sin(A + B) + \sin(A - B)]$ |
| $\cos A \cos B$ | $\frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A - B)]$ |
| $\sin A \sin B$ | $-\frac{1}{2}[\cos(A + B) - \cos(A - B)]$ |
七、和差化积公式
| 公式 | 表达式 |
| $\sin A + \sin B$ | $2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| $\sin A - \sin B$ | $2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| $\cos A + \cos B$ | $2\cos\left(\frac{A + B}{2}\right)\cos\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
| $\cos A - \cos B$ | $-2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$ |
总结
三角函数变换公式是解决三角问题的重要工具，掌握这些公式不仅有助于理解三角函数的性质，还能在实际应用中提高运算效率。通过合理使用这些公式，可以将复杂的三角表达式简化为更易处理的形式，从而加快计算过程并减少出错率。
以上内容基于常见三角函数知识整理而成，适用于高中及大学基础数学学习者。
