\[ D(x) = \begin{cases}

1, & \text{如果 } x \text{ 是有理数}, \\

0, & \text{如果 } x \text{ 是无理数}.

\end{cases} \]

这个函数在实数域上处处不连续，因此其在任意点处的极限行为非常有趣且值得探讨。

左右极限分析

假设我们考察任意实数 \( c \)，我们需要研究 \( D(x) \) 在 \( c \) 处的左右极限。为了做到这一点，我们需要考虑当 \( x \) 从 \( c \) 的左侧或右侧趋近时，\( D(x) \) 的取值情况。

左极限 (\(\lim_{x \to c^-} D(x)\))

无论 \( c \) 是有理数还是无理数，总可以在 \( c \) 的左侧找到无限多个有理数和无理数。由于 \( D(x) \) 在有理数处取值为 1，在无理数处取值为 0，因此在 \( c \) 的左侧，\( D(x) \) 的值会在 0 和 1 之间振荡。这种振荡意味着 \( D(x) \) 在 \( c \) 的左侧没有明确的极限。

右极限 (\(\lim_{x \to c^+} D(x)\))

类似地，无论 \( c \) 是有理数还是无理数，总可以在 \( c \) 的右侧找到无限多个有理数和无理数。因此，\( D(x) \) 在 \( c \) 的右侧同样会在 0 和 1 之间振荡，无法收敛到一个确定的值。

结论

综上所述，狄利克雷函数 \( D(x) \) 在任意点 \( c \) 处的左右极限均不存在。这是因为 \( D(x) \) 的值在任何邻域内都会在 0 和 1 之间交替出现，导致极限无法唯一确定。

这种特性使得狄利克雷函数成为研究函数连续性与极限行为的一个重要工具。它提醒我们，即使在一个点的两侧都有无限多的点接近，函数的极限也可能因为值的振荡而不存在。