【积分常用公式】在数学中，积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济等多个领域。掌握一些常用的积分公式对于学习和应用积分具有重要意义。以下是一些常见的不定积分与定积分的公式总结，便于查阅与记忆。
一、基本积分公式（不定积分）
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ x^n $ | $ \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $（$ n \neq -1 $） | ||
| $ \frac{1}{x} $ | $ \ln | x | + C $ |
| $ e^x $ | $ e^x + C $ | ||
| $ a^x $ | $ \frac{a^x}{\ln a} + C $（$ a > 0, a \ne 1 $） | ||
| $ \sin x $ | $ -\cos x + C $ | ||
| $ \cos x $ | $ \sin x + C $ | ||
| $ \sec^2 x $ | $ \tan x + C $ | ||
| $ \csc^2 x $ | $ -\cot x + C $ | ||
| $ \sec x \tan x $ | $ \sec x + C $ | ||
| $ \csc x \cot x $ | $ -\csc x + C $ |
二、常见函数的积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 + a^2} $ | $ \frac{1}{a} \arctan\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} $ | $ \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \frac{1}{x^2 - a^2} $ | $ \frac{1}{2a} \ln\left | \frac{x - a}{x + a}\right | + C $ |
| $ \sqrt{a^2 - x^2} $ | $ \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \arcsin\left(\frac{x}{a}\right) + C $ | ||
| $ \sqrt{x^2 + a^2} $ | $ \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln\left(x + \sqrt{x^2 + a^2}\right) + C $ |
三、三角函数积分公式
| 函数 $ f(x) $ | 不定积分 $ \int f(x) \, dx $ | ||
| $ \sin(ax) $ | $ -\frac{1}{a} \cos(ax) + C $ | ||
| $ \cos(ax) $ | $ \frac{1}{a} \sin(ax) + C $ | ||
| $ \sin^2 x $ | $ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | ||
| $ \cos^2 x $ | $ \frac{x}{2} + \frac{\sin(2x)}{4} + C $ | ||
| $ \tan x $ | $ -\ln | \cos x | + C $ |
| $ \cot x $ | $ \ln | \sin x | + C $ |
四、定积分公式（部分常用形式）
| 积分表达式 | 结果 |
| $ \int_a^b 1 \, dx $ | $ b - a $ |
| $ \int_a^b x \, dx $ | $ \frac{b^2 - a^2}{2} $ |
| $ \int_a^b x^n \, dx $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \ne -1 $） |
| $ \int_a^b e^x \, dx $ | $ e^b - e^a $ |
| $ \int_a^b \sin x \, dx $ | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ \int_a^b \cos x \, dx $ | $ \sin b - \sin a $ |
五、积分技巧补充
- 换元积分法：设 $ u = g(x) $，则 $ \int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u) du $
- 分部积分法：$ \int u dv = uv - \int v du $
- 有理函数分解：对分母为多项式的有理函数进行因式分解后分别积分
- 三角替换：用于处理含有 $ \sqrt{a^2 - x^2} $、$ \sqrt{a^2 + x^2} $、$ \sqrt{x^2 - a^2} $ 的积分
通过掌握这些基本的积分公式和技巧，可以更高效地解决实际问题中的积分计算。建议在学习过程中结合例题练习，逐步提升对积分的理解与运用能力。
