【杨辉三角公式】杨辉三角，又称帕斯卡三角，是数学中一个重要的数列结构，广泛应用于组合数学、概率论和代数等领域。它以中国古代数学家杨辉的名字命名，但其历史可以追溯到更早的时期。杨辉三角的构造基于二项式展开的系数规律，每一个数字都是其上方两个数字之和。
一、杨辉三角的基本构成
杨辉三角是一个无限的三角形数阵，每一行对应于二项式展开的系数。第 $ n $ 行（从0开始计数）对应的是 $ (a + b)^n $ 的展开系数。
例如：
- 第0行：1
- 第1行：1 1
- 第2行：1 2 1
- 第3行：1 3 3 1
- 第4行：1 4 6 4 1
- 第5行：1 5 10 10 5 1
二、杨辉三角的公式表示
杨辉三角中的每个元素可以用组合数公式表示：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n - k)!}
$$
其中，$ C(n, k) $ 表示从 $ n $ 个不同元素中取出 $ k $ 个的组合数，$ n $ 是行号（从0开始），$ k $ 是该行中的位置（从0开始）。
三、杨辉三角的性质
1. 对称性：每一行的数字呈对称分布，即 $ C(n, k) = C(n, n - k) $。
2. 边界的1：每行的第一个和最后一个数字都是1。
3. 递推关系：每个数字等于其上方两个数字之和，即：
$$
C(n, k) = C(n - 1, k - 1) + C(n - 1, k)
$$
4. 与二项式展开的关系：第 $ n $ 行的数字正好是 $ (a + b)^n $ 展开后的各项系数。
四、杨辉三角表格展示
| 行号（n） | 数值序列 |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 |
五、应用实例
杨辉三角在实际问题中有着广泛的应用，例如：
- 组合问题：计算从若干物品中选择特定数量的组合方式。
- 概率计算：用于计算事件发生的可能性，如抛硬币或掷骰子。
- 多项式展开：快速确定 $ (a + b)^n $ 的各项系数。
六、总结
杨辉三角不仅是一种数学图形，更是理解组合数学和二项式展开的重要工具。通过观察其结构和规律，可以深入理解数字之间的关系以及它们在现实世界中的应用。掌握杨辉三角的公式及其性质，有助于提升数学思维能力和解题技巧。
