在数学领域中，向量是一种具有大小和方向的量，它广泛应用于物理、工程学以及计算机科学等领域。当我们提到两个向量相乘时，实际上存在两种主要的方式：点积（内积）与叉积（外积）。这两种运算方式虽然都涉及两个向量的操作，但它们的意义、结果及应用场景却大不相同。

点积：数量上的结合

点积是两个向量之间的一种标量运算。假设我们有两个三维向量 \(\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)\) 和 \(\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)\)，那么它们的点积定义为：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

\]

换句话说，点积就是将对应分量相乘后再求和的结果。从几何角度来看，点积还可以表示为：

\[

\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta

\]

其中 \(|\vec{a}|\) 和 \(|\vec{b}|\) 分别代表向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的模长，而 \(\theta\) 是这两个向量之间的夹角。因此，点积不仅能够告诉我们两向量是否正交（即夹角为90°时点积为零），还能用于判断它们的方向关系。

点积的应用非常广泛，例如在机器学习中的相似性度量、物理学中的功计算等场景下都能见到它的身影。

叉积：向量间的垂直产物

与点积不同，叉积产生的是一个新的向量，这个新向量既垂直于原始两个向量所在的平面，又遵循右手定则来确定其方向。对于上述相同的两个三维向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们的叉积可以表示为一个行列式形式：

\[

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3

\end{vmatrix}

= (a_2b_3 - a_3b_2)\hat{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\hat{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\hat{k}

\]

这里 \(\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}\) 分别表示沿 x 轴、y 轴、z 轴单位向量。叉积的结果向量长度等于这两个向量所构成平行四边形面积的大小，即：

\[

|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\theta

\]

叉积主要用于描述旋转或力矩等问题，在机器人控制、图形渲染等方面有着重要用途。

总结

综上所述，“两个向量相乘”这一表述其实包含了两种截然不同的操作——点积和叉积。两者各有侧重，点积关注的是数量上的关联，而叉积则强调空间上的位置关系。理解这两者的区别及其实际意义，有助于我们在解决具体问题时选择最合适的工具。无论是深入研究理论知识还是实践应用开发，掌握好向量运算的基本原理都是不可或缺的基础技能。