在概率论与数理统计中，指数分布是一种重要的连续型概率分布，广泛应用于描述事件发生的时间间隔，例如电子元件的寿命、顾客到达服务窗口的时间间隔等场景。指数分布具有无记忆性这一独特性质，在实际问题建模中有着不可替代的地位。
指数分布的概率密度函数（PDF）通常表示为：
\[
f(x; \lambda) =
\begin{cases}
\lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0, \\
0, & x < 0,
\end{cases}
\]
其中，参数 \(\lambda > 0\) 是一个正数，代表单位时间内的平均事件发生次数或速率。该分布的累积分布函数（CDF）为：
\[
F(x; \lambda) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x \geq 0.
\]
数学期望是随机变量的重要特征之一，它反映了随机变量取值的中心位置。对于指数分布而言，其数学期望可以通过积分公式计算得出：
\[
E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x; \lambda) dx.
\]
由于 \(f(x; \lambda)\) 的定义域仅限于 \(x \geq 0\)，因此上式可简化为：
\[
E[X] = \int_{0}^{+\infty} x \cdot \lambda e^{-\lambda x} dx.
\]
接下来进行具体求解。首先设 \(u = \lambda x\)，则有 \(du = \lambda dx\)，且当 \(x \to 0\) 时 \(u \to 0\)；当 \(x \to +\infty\) 时 \(u \to +\infty\)。代入后得到：
\[
E[X] = \int_{0}^{+\infty} \frac{u}{\lambda} e^{-u} \frac{du}{\lambda}.
\]
化简得：
\[
E[X] = \frac{1}{\lambda^2} \int_{0}^{+\infty} u e^{-u} du.
\]
注意到 \(\int_{0}^{+\infty} u e^{-u} du\) 是伽马函数 \(\Gamma(2)\) 的一种形式，而伽马函数满足 \(\Gamma(n) = (n-1)!\)，所以 \(\Gamma(2) = 1!\)。因此：
\[
\int_{0}^{+\infty} u e^{-u} du = 1.
\]
最终结果为：
\[
E[X] = \frac{1}{\lambda}.
\]
这意味着，指数分布的数学期望等于其速率参数 \(\lambda\) 的倒数。
应用实例
假设某设备的故障时间服从指数分布，且其故障率为 \(\lambda = 0.5\)（即每单位时间内平均发生 0.5 次故障），那么根据上述结论，该设备的平均无故障运行时间为：
\[
E[X] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0.5} = 2 \text{ 单位时间}.
\]
这表明，该设备在两次故障之间的平均间隔约为 2 个单位时间。
总结
指数分布的数学期望简单直观，只需知道速率参数 \(\lambda\) 即可快速计算。这一特性使得指数分布在工程、金融、生物等领域得到了广泛应用。理解指数分布及其期望值的意义，有助于我们更好地分析和解决现实中的随机现象问题。
